Преобразная и Интегралы

№ Название / Описание Формула
Базовые понятия и свойства
1. Определение неопределенного интеграла \( \displaystyle \int f(x) dx = F(x) + C \)
2. Интеграл от суммы / разности (Линейность) \( \displaystyle \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx \)
3. Вынесение постоянного множителя \( \displaystyle \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x)dx \quad (k \neq 0) \)
Основные табличные интегралы
4. Интеграл дифференциала (единицы) \( \displaystyle \int dx = x + C \)
5. Степенная функция
(при \( n \neq -1 \))		 \( \displaystyle \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)
6. Дробно-линейная функция (натуральный логарифм) \( \displaystyle \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C \)
7. Показательная функция (общий случай) \( \displaystyle \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \)
8. Экспоненциальная функция (экспонента) \( \displaystyle \int e^x dx = e^x + C \)
9. Интеграл от синуса \( \displaystyle \int \sin x dx = -\cos x + C \)
10. Интеграл от косинуса \( \displaystyle \int \cos x dx = \sin x + C \)
11. Интеграл, приводящий к тангенсу \( \displaystyle \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \operatorname{tg} x + C \)
12. Интеграл, приводящий к котангенсу \( \displaystyle \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\operatorname{ctg} x + C \)
13. Интеграл, приводящий к базовому арктангенсу \( \displaystyle \int \frac{dx}{1+x^2} = \operatorname{arctg} x + C \)
14. Интеграл, приводящий к базовому арксинусу \( \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C \)
Продвинутые табличные интегралы (алгебраические дроби)
15. Арктангенс общего вида
(с коэффициентом \( a \))		 \( \displaystyle \int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \operatorname{arctg}\frac{x}{a} + C \)
16. Арксинус общего вида
(с коэффициентом \( a \))		 \( \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C \)
17. «Высокий логарифм» \( \displaystyle \int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C \)
18. «Длинный логарифм» \( \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right| + C \)
Важнейшие методы интегрирования
19. Метод интегрирования по частям \( \displaystyle \int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du \)
20. Метод замены переменной
(подстановка)		 \( \displaystyle \int f(g(x)) \cdot g'(x) dx = \int f(t) dt \),
где \( t = g(x) \)
Определенный интеграл
21. Формула Ньютона-Лейбница \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \)
22. Геометрический смысл
(Площадь криволинейной трапеции)		 \( \displaystyle S = \int_{a}^{b} f(x) dx \quad (\text{при } f(x) \geq 0) \)
23. Перестановка пределов интегрирования \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx \)
24. Аддитивность отрезка
(разбиение на части)		 \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx \)