Тригонометрия

№ Название формулы Формула
Основные тригонометрические тождества
1.Основное тождество\( \displaystyle \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)
2.Тангенс угла\( \displaystyle \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \)
3.Котангенс угла\( \displaystyle \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \)
4.Связь тангенса и котангенса\( \displaystyle \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = 1 \)
5.Связь тангенса и косинуса\( \displaystyle 1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \)
6.Связь котангенса и синуса\( \displaystyle 1 + \operatorname{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} \)
Формулы сложения аргументов
7.Синус суммы\( \displaystyle \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
8.Синус разности\( \displaystyle \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
9.Косинус суммы\( \displaystyle \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
10.Косинус разности\( \displaystyle \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)
11.Тангенс суммы\( \displaystyle \operatorname{tg}(x + y) = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y}{1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y} \)
12.Тангенс разности\( \displaystyle \operatorname{tg}(x - y) = \frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{tg} y}{1 + \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y} \)
Формулы двойного и тройного угла
13.Синус двойного угла\( \displaystyle \sin 2x = 2\sin x \cos x \)
14.Косинус двойного угла (основная)\( \displaystyle \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \)
15.Косинус двойного угла (через косинус)\( \displaystyle \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \)
16.Косинус двойного угла (через синус)\( \displaystyle \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \)
17.Тангенс двойного угла\( \displaystyle \operatorname{tg} 2x = \frac{2\operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x} \)
18.Синус тройного угла\( \displaystyle \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x \)
19.Косинус тройного угла\( \displaystyle \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x \)
Формулы понижения степени (половинного угла)
20.Квадрат синуса\( \displaystyle \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \)
21.Квадрат косинуса\( \displaystyle \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \)
22.Квадрат тангенса\( \displaystyle \operatorname{tg}^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x} \)
Преобразование суммы в произведение
23.Сумма синусов\( \displaystyle \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \)
24.Разность синусов\( \displaystyle \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} \)
25.Сумма косинусов\( \displaystyle \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \)
26.Разность косинусов\( \displaystyle \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} \)
Преобразование произведения в сумму
27.Произведение синусов\( \displaystyle \sin x \cdot \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) \)
28.Произведение косинусов\( \displaystyle \cos x \cdot \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y)) \)
29.Произведение синуса на косинус\( \displaystyle \sin x \cdot \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x-y) + \sin(x+y)) \)
Универсальная тригонометрическая подстановка
30.Синус через тангенс половинного угла\( \displaystyle \sin x = \frac{2\operatorname{tg}\frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}} \)
31.Косинус через тангенс половинного угла\( \displaystyle \cos x = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}} \)
32.Тангенс через тангенс половинного угла\( \displaystyle \operatorname{tg} x = \frac{2\operatorname{tg}\frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}} \)
Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений
33.Уравнение синуса\( \displaystyle \sin x = a \)
\( \displaystyle |a| \leqslant 1; \ x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in Z \)
34.Синус равен нулю\( \displaystyle \sin x = 0 \)
\( \displaystyle x = \pi k, \ k \in Z \)
35.Синус равен единице\( \displaystyle \sin x = 1 \)
\( \displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \ k \in Z \)
36.Синус равен минус единице\( \displaystyle \sin x = -1 \)
\( \displaystyle x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \ k \in Z \)
37.Уравнение косинуса\( \displaystyle \cos x = a \)
\( \displaystyle |a| \leqslant 1; \ x = \pm \arccos a + 2\pi n, \ n \in Z \)
38.Косинус равен нулю\( \displaystyle \cos x = 0 \)
\( \displaystyle x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \ k \in Z \)
39.Косинус равен единице\( \displaystyle \cos x = 1 \)
\( \displaystyle x = 2\pi k, \ k \in Z \)
40.Косинус равен минус единице\( \displaystyle \cos x = -1 \)
\( \displaystyle x = \pi + 2\pi k, \ k \in Z \)
41.Уравнение тангенса\( \displaystyle \operatorname{tg} x = a \)
\( \displaystyle x = \operatorname{arctg} a + \pi n, \ n \in Z \)
42.Уравнение котангенса\( \displaystyle \operatorname{ctg} x = a \)
\( \displaystyle x = \operatorname{arcctg} a + \pi n, \ n \in Z \)