Матрицы и определители

№	Понятие	Формула / Описание
1.	Определитель матрицы 2x2	$$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$
2.	Определитель матрицы 3x3 (Правило треугольника)	$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}) $$
3.	Сложение матриц	Матрицы одного размера складываются поэлементно: $ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} $
4.	Умножение матрицы на число	Каждый элемент матрицы умножается на это число: $ k \cdot A = (k \cdot a_{ij}) $
5.	Умножение матриц	Строка первой матрицы умножается на столбец второй: $ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots $ (Возможно, только если число столбцов первой равно числу строк второй)
6.	Метод Гаусса (с примером)	Приведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Пример для системы: $ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + y = 5 \end{cases} $ 1. Записываем расширенную матрицу: $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \| & 5 \\ 3 & 1 & \| & 5 \end{pmatrix} $$ 2. Обнуляем первый элемент 2-й строки: (вычитаем из второй строки первую, умноженную на 3) $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \| & 5 \\ 0 & -5 & \| & -10 \end{pmatrix} $$ 3. Делим вторую строку на -5, чтобы получить 1: $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \| & 5 \\ 0 & 1 & \| & 2 \end{pmatrix} $$ Итог (обратный ход): Из нижней строки видим, что $ y = 2 $. Подставляем в верхнюю строку: $ x + 2(2) = 5 \Rightarrow x = 1 $. Ответ: $ (1; 2) $