Векторы на плоскости и в пространстве

№	Операция или Свойство	Формула (в 3D пространстве)
1.	Координаты вектора по двум точкам $ A(x_1, y_1, z_1) $ и $ B(x_2, y_2, z_2) $	$$ \vec{AB} = (x_2 - x_1; \, y_2 - y_1; \, z_2 - z_1) $$
2.	Длина (модуль) вектора $ \vec{a}(x, y, z) $	$$ \|\vec{a}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$
3.	Сложение / Вычитание векторов	$$ \vec{a} \pm \vec{b} = (x_a \pm x_b; \, y_a \pm y_b; \, z_a \pm z_b) $$
4.	Скалярное произведение ($ \vec{a} \cdot \vec{b} $)	$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b $$ $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot \cos\alpha $$
5.	Косинус угла между векторами	$$ \cos\alpha = \frac{x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b}{\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2} \cdot \sqrt{x_b^2+y_b^2+z_b^2}} $$
6.	Условие перпендикулярности	$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $$
7.	Условие коллинеарности (параллельности)	$$ \frac{x_a}{x_b} = \frac{y_a}{y_b} = \frac{z_a}{z_b} $$

№	Операция или Свойство	Формула (в 3D пространстве)
1.	Координаты вектора по двум точкам \( A(x_1, y_1, z_1) \) и \( B(x_2, y_2, z_2) \)	$$ \vec{AB} = (x_2 - x_1; \, y_2 - y_1; \, z_2 - z_1) $$
2.	Длина (модуль) вектора \( \vec{a}(x, y, z) \)	$$ \|\vec{a}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$
3.	Сложение / Вычитание векторов	$$ \vec{a} \pm \vec{b} = (x_a \pm x_b; \, y_a \pm y_b; \, z_a \pm z_b) $$
4.	Скалярное произведение (\( \vec{a} \cdot \vec{b} \))	$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b $$ $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot \cos\alpha $$
5.	Косинус угла между векторами	$$ \cos\alpha = \frac{x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b}{\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2} \cdot \sqrt{x_b^2+y_b^2+z_b^2}} $$
6.	Условие перпендикулярности	$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $$
7.	Условие коллинеарности (параллельности)	$$ \frac{x_a}{x_b} = \frac{y_a}{y_b} = \frac{z_a}{z_b} $$